球面坐标系由方位角 φ \varphi φ、仰角 θ \theta θ和距离 r r r构成

直角坐标系 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)到球面坐标系的 ( r , φ , θ ) (r,\varphi,\theta) (r,φ,θ)的转化规则如下：

{ x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ z = r cos ⁡ φ \left\{ \begin{aligned} x & = & r\sin φ\cosθ \\ y & = & r\sin θ\sin φ \\ z & = & r\cos φ \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧​xyz​===​rsinφcosθrsinθsinφrcosφ​

适用于积分区域为球或球的部分、锥或锥的部分。

按规则直角坐标系的积分式转换成球面坐标系就行

∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω f ( r sin ⁡ φ cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ sin ⁡ φ , r cos ⁡ φ ) r 2 sin ⁡ φ d θ d φ d r \iiint \limits_{\Omega} f(x,y,z)dxdydz=\iiint \limits_{\Omega}f(r\sin φ\cosθ,r\sin θ\sin φ,r\cos φ)r^2\sin \varphi d\theta d\varphi dr Ω∭​f(x,y,z)dxdydz=Ω∭​f(rsinφcosθ,rsinθsinφ,rcosφ)r2sinφdθdφdr

然后一般按如下顺序写出积分式：

∫ d θ ∫ d φ ∫ f ( r , θ , φ ) d r \int d\theta \int d\varphi \int f(r,\theta,\varphi)dr ∫dθ∫dφ∫f(r,θ,φ)dr

由于“后积先定限”，所以先处理方位角，即下图中1的轨迹，随后处理仰角，即下图中2的轨迹，两个角取值范围都是 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]

计算三重积分 ∭ Ω ( x 2 + y 2 ) d v \iiint \limits_{\Omega}(x^2+y^2)dv Ω∭​(x2+y2)dv其中 Ω \Omega Ω是右半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2   ( y ≥ 0 , a > 0 ) x^2+y^2+z^2=a^2\text{ }(y\ge 0,a>0) x2+y2+z2=a2 (y≥0,a>0)与 x O z xOz xOz面所围成的区域

【解析】

Ω = { 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ π } \Omega = \{0\le r\le a,0\le \theta \le \pi,0\le \varphi \le \pi \} Ω={0≤r≤a,0≤θ≤π,0≤φ≤π}

本题即解如下积分

∭ Ω r 2 sin ⁡ 2 φ ⋅ r 2 sin ⁡ φ d r d θ d φ \iiint \limits_{\Omega}r^2\sin^2\varphi ·r^2\sin \varphi drd\theta d\varphi Ω∭​r2sin2φ⋅r2sinφdrdθdφ

即：

∫ 0 π d θ ∫ 0 π d φ ∫ 0 a r 4 sin ⁡ 3 φ d r \int_0^\pi d\theta \int_0^\pi d\varphi \int_0^a r^4\sin^3\varphi dr ∫0π​dθ∫0π​dφ∫0a​r4sin3φdr

其中在 d r dr dr时 sin ⁡ 3 φ \sin^3\varphi sin3φ是常量，可提出，剩下就是对 r 4 r^4 r4积分，即变为：

∫ 0 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ 3 φ ⋅ a 5 5 d φ \int_0^\pi d\theta \int_0^\pi \sin^3\varphi · \frac{a^5}{5} d\varphi ∫0π​dθ∫0π​sin3φ⋅5a5​dφ

a 5 5 \frac{a^5}{5} 5a5​是常数可提出，并且这个对 φ \varphi φ积分完要对 θ \theta θ积分，可以先变换顺序先对 θ \theta θ积分，则原式变为：

π 5 a 3 ∫ 0 π sin ⁡ 3 φ d φ \frac{\pi}{5}a^3 \int_0^\pi \sin^3\varphi d\varphi 5π​a3∫0π​sin3φdφ

对于 sin ⁡ 3 φ \sin^3\varphi sin3φ的积分步骤中用到了点火公式，过程如下：

∫ 0 π sin ⁡ 3 φ d φ = ∫ 0 π 2 sin ⁡ 3 φ d φ + ∫ π 2 π sin ⁡ 3 φ d φ = 2 3 + ∫ π 2 π sin ⁡ 3 φ d φ \int_0^\pi \sin^3\varphi d\varphi=\int_0^{\frac\pi 2} \sin^3\varphi d\varphi+\int_{\frac\pi 2}^\pi \sin^3\varphi d\varphi=\frac23+\int_{\frac\pi 2}^\pi \sin^3\varphi d\varphi ∫0π​sin3φdφ=∫02π​​sin3φdφ+∫2π​π​sin3φdφ=32​+∫2π​π​sin3φdφ

对于右侧的积分继续进行处理，令 φ = π − t \varphi = \pi - t φ=π−t（好像算是区间再现公式）

∫ π 2 π sin ⁡ 3 φ d φ = ∫ π 2 0 sin ⁡ 3 ( π − t ) d ( π − t ) = ∫ π 2 0 sin ⁡ 3 ( π − t ) d ( − t ) \int_{\frac\pi 2}^\pi \sin^3\varphi d\varphi=\int_{\frac\pi 2}^0 \sin^3(\pi - t) d(\pi - t)= \int_{\frac\pi 2}^0 \sin^3(\pi - t) d(- t) ∫2π​π​sin3φdφ=∫2π​0​sin3(π−t)d(π−t)=∫2π​0​sin3(π−t)d(−t)

提出负号，上下限颠倒，则右侧积分式等于：

∫ 0 π 2 sin ⁡ 3 ( π − t ) d t \int_0^{\frac\pi 2} \sin^3(\pi - t) dt ∫02π​​sin3(π−t)dt

根据 sin ⁡ 3 x \sin^3x sin3x的对称性，该式子又等于：

∫ 0 π 2 sin ⁡ 3 t d t = 2 3 \int_0^{\frac\pi 2} \sin^3t dt=\frac23 ∫02π​​sin3tdt=32​

故原式等于

π 5 a 3 ∫ 0 π sin ⁡ 3 φ d φ = π 5 a 3 ⋅ ( 2 3 + 2 3 ) = 4 15 π a 3 \frac{\pi}{5}a^3 \int_0^\pi \sin^3\varphi d\varphi=\frac{\pi}{5}a^3·(\frac 23+\frac 23)=\frac4{15}\pi a^3 5π​a3∫0π​sin3φdφ=5π​a3⋅(32​+32​)=154​πa3

即最终结果